一、核心前提：多元函数的定义域（凸集）

与一元函数不同，多元函数的自变量是 n 维向量 ，其凸函数定义需先明确凸集的概念（高维场景下的 “区间” 推广）。

设集合 ，若对任意两个向量 ，都有：

则称 D 为 上的凸集。

几何意义：凸集中任意两点的 “连线”（所有凸组合）仍在集合内，例如 中的圆盘、三角形是凸集，圆环、五角星不是凸集。

二、多元凸函数与严格凸函数的定义

所有定义均基于 “定义域为凸集” 这一前提，核心是向量凸组合的函数值不等式。

1. 多元凸函数（Convex Function）

设函数 ，其中 是凸集。若对任意 和任意 ，满足：

则称 f 为 D 上的凸函数。

2. 多元严格凸函数（Strictly Convex Function）

设函数 ，其中 是凸集。若对任意 （，向量分量不完全相等）和任意 ，满足：

则称 f 为 D 上的严格凸函数。

三、多元凸函数的核心性质（含严格凸对比）

多元凸函数的性质依赖梯度（一阶导数推广） 和Hessian 矩阵（二阶导数推广），需先明确这两个工具的定义：

梯度：，是 n 维列向量。Hessian 矩阵：，是 n x n 对称矩阵（若二阶偏导连续）。

性质类别

多元凸函数（f 凸）

多元严格凸函数（f 严格凸）

1. 几何意义

函数图像上任意两点的割平面在图像及其上方

函数图像上任意两点的割平面严格在图像上方

2. 一阶条件

若 f 在开凸集 D 上可微，则

f 凸 对任意

有：

若 f 在开凸集 D 上可微，则

f 严格凸 对任意

，有：

（切线平面严格在函数下方）

3. 二阶条件

若 f 在开凸集 D 上二阶可微，则 f 凸 对任意， 是半正定矩阵（即对任意 ，

若 f 在开凸集 D 上二阶可微，则 是正定矩阵（对任意 , ，）是 f 严格凸的充分条件（非必要）

4. 极值性质

若 f 凸且 （驻点），则 是 f 的全局极小值点（可能不唯一）

若 f 严格凸且 ，则 是 f 的唯一全局极小值点

5. Jensen 不等式

对任意

和

（），有：

同上，但等号成立 当且仅当

四、关键性质的证明（以二阶条件为例）

选取最核心的 “二阶条件（Hessian 半正定是凸函数的充要条件）” 证明，其他性质可基于此推导。

命题

设是开凸集，且 f 二阶可微，

则：f 是凸函数 是半正定矩阵。

证明过程1. 必要性（：凸函数Hessian 半正定）

思路：将多元问题 “一元化”—— 固定任意方向 ，利用一元凸函数的二阶导数非负推导。

任取 和任意非零向量 （若 d=0，半正定显然成立）。因 D 是开集，。构造一元函数 ，则 g(t) 是 上的凸函数（因 f 是凸函数，凸组合的函数值不等式对 g(t) 仍成立）。对 g(t) 求二阶导数：一阶导数：（链式法则，梯度与方向向量的内积）；二阶导数：（再次求导，Hessian 矩阵的二次型）。由一元凸函数的充要条件，立。令 t = 0，得：因 是任意向量，故是半正定矩阵。2. 充分性（：Hessian 半正定凸函数）

思路：利用多元函数的二阶泰勒展开，结合半正定矩阵的二次型非负，推导凸组合的不等式。

任取 ，因 D 是凸集，对任意 。对 和 在 处做二阶泰勒展开（余项为拉格朗日型）：存在 （在 之间），

使得：

同理，存在 （在 之间），使得：因 和 均为半正定矩阵，故泰勒展开中的二次项非负：

,

因此：,将两式分别乘以 后相加：

注意到 （因 ），故右边简化为 。最终得：即 f 是凸函数。