一、复流形及其张量图示记法

坐标x¹，x²，…，xⁿ，现在它们均为复数z¹，z²，…，zⁿ，并且关于这些坐标的函数全是全纯函数。

将流形视为由一块块坐标拼块“粘合”起来的，每块拼块是坐标空间Cⁿ的开区域，该空间里的点表示复数的n元组（z¹，z²，…，zⁿ）（“C”本身就代表复数系）。表坐标变换的转移函数完全由全纯函数确定。我们可定义实n维流形下的全纯矢量场、全纯余矢量场、全纯p形式、全纯张量等。

图1 张量的图示记法记号

张量Q表示为带3个臂2条腿的椭圆，一般张量图有p个臂q条腿。

图示记法用臂和腿的末端在纸上的位置变动来表示指标的变动，而不是诉诸指标字母。张量指标的缩并用臂和腿的连接来表示。这个图同时也展示了横在各指标线段上的粗横杠所表示的反对称化，和表示对称化的波浪线。图中因子1/12是（为简化计算）对称项和反对称项在图示记法中消去时产生的归一化阶乘分母​。在图的下半段，反对称项和对称项均写成“无实体”的表达式​。它们被用来表示（多矢量的）楔积ξ∧η和ξ∧η∧ζ。

可根据实部和虚部来表示复数坐标zⁿ=xⁿ+iyⁿ​。于是，​“复n维流形”不再被看作是n维空间，而是实2n维流形。当然，这是一种带有非常特殊的局部结构（这里指复结构）的2n维流形。

复矢量场ζ表为如下形式：

ξ和η均为2n维流形上的普通实矢量场。所谓“复结构”是告诉我们这些实矢量场是如何彼此联系的，以及为使ζ能够成为“全纯的”​，它们应遵从什么样的微分方程。现在，我们来考虑新的由复场ζ乘以i产生的复矢量场。可以看到，为了保持协调性，必有iζ=-η+iξ，这样实矢量场ζ由-η取代，而η则由ξ取代，实施这种替代的运算J（即J（ξ）=-η，J（η）=ξ）就是通常所指的“复结构”​。

图2 张量图示记号法

余矢量β（1形式）的图有一条单腿，它与矢量ξ的单臂相连给出二者的标积。

张量Q定义的多重线性形式用图来表示，就是将p个可变余矢量的p个臂与腿相连，再将q个矢量的q条腿与臂相连（图中给出的是q=3和p=2情形）​。一般张量的对称和反对称部分可用图1里运算中的波浪线和粗横杠来表示。

横杠也可与体积

的图示法连用。

若两次使用J，相当于增加一个负号，因为i²=-1，故J²=-1

p形式与（n-p）矢量的“对偶”。

二、外导数图示记法

三、线性变换图示法

线性变换

矢量空间V中x的线性变换

非奇异n×n矩阵T的逆矩阵T^-1

四、结构常数图示法

α、β之间的反对称性

五、度规图示法

六、矢量余矢量标积图示法

七、协变微分图示记法

八、曲率张量图示记法

九、李导数图示记法

十、纤维丛图示记法

联络定义了B内曲线的“水平的”局部概念。如果考虑底空间内从a到b的两条路径，短道的标以黑箭头，绕道的标以白箭头，沿不同路径走到b时就会发现有差别（差一个因子2）​，这说明“水平的”概念在这里是路径相关的。

联络类型与流形M上曲线的切矢量的“平行性”概念有关。我们将联络看作是定义在M的切丛T（M）上的。由于T（M）的一个点表示的是M上点a处M的切矢量v，因此v沿M内曲线γ的移动可以由T（M）内曲线γv来表示（见下图a)

所谓“平行”就是指v的移动，即丛内曲线γv的“水平的”概念（因为在丛内保持γv“水平”就是指在底空间内保持v沿曲线γ“不变”​）(见上图b)