一、张量的变换规则与类型

张量的核心性质是其在坐标变换下的协变性，具体规则由阶数（指标数）和逆变/协变性决定。

1. 二阶张量的变换规则

2. 高阶张量的变换规则（以三阶张量为例）

张量变换规则：

所有张量的变换均由指标位置（上/下标）决定，遵循链式法则。

高阶张量的变换是各指标变换的直积。

二、关键物理张量的表达式与规则

1. 应力-能量张量（Stress-Energy Tensor）

应力-能量张量：物质与时空的相互作用源（爱因斯坦场方程右端）。

2. 黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）

黎曼张量：时空弯曲的完整描述（潮汐力、测地线偏离）。

3. 列维-奇维塔张量（Levi-Civita Tensor）

列维-奇维塔张量：体积计算与对偶运算的核心工具。

三、张量导数构造规则（协变导数）

1、协变矢量的变换规则

联络项的作用：修正普通导数在弯曲空间中的“方向变化”，使导数结果与空间几何适配。

负号的来源：协变矢量（如梯度 ∂μϕ）的变换规则与基矢 ∂μ 相反，导致联络项符号与逆变矢量相反。

2、逆变矢量的变换规则

逆变矢量 Vμ沿曲线平移时，其变化由联络项修正。

正号的几何意义：当矢量在弯曲时空中平移时，其分量需通过附加增量（非张量项）来补偿基矢 ∂μ的方向变化

协变逆变矢量符号差异源于：协变矢量与逆变矢量的变换规则互为逆，导致修正项符号相反。

3. 协变导数的通用规则

4. 关键张量的导数示例

保证张量方程的广义协变性（与坐标系无关）。

在弯曲时空中修正普通导数，引入联络项克氏符号。

张量语言是相对论与场论的基石。通过明确变换规则、掌握关键张量的构造，并熟练运用协变导数，可统一处理经典场论（电磁场）、广义相对论（时空弯曲）乃至量子场论中的复杂动力学问题。