摘要：医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形式出现在我们面前.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的.如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响. 因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用. 所谓排队系统模拟建模,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据.

关键词：排队论 泊松分布 随机性

正文：

一、排队论的基本概念

排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则.简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的，本文用泊松输入，建立模型。泊松输入即满足以下4个条件的输入：(1)、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种规律来到医院. (2)、服务时间是指患者接收服务的时间规律. (3)、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者. (4)、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接受服务. 患者的总体可以是无限的也可以是有限的；患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的；相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的；患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联；到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的。

一般来说, 简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布, 即每位患者接受服务的时间是独立同分布的, 其分布函数为 B ( t ) = 1- e - m t (t ≥0). 其中m＞0为一常数, 代表单位时间的平均服务率. 而1/m 则是平均服务时间。服务窗口的主要属性是服务台的个数。 其类型有：单服务台、多服务台。多服务台又分并联、串联和混合型三种。最基本的类型为多服务台并联。分为三类：损失制、等待制、混合制。损失制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,该患者不愿等待，就随即从系统消失。等待制：患者到达时,如果所有服务台都没有空闲,他们就排队等待. 等待服务的次序又有各种不同的规则：①先到先服务,如就诊、排队取药等。 ②后到先服务,如医院处理急症病人。 ③随机服务, 服务台空闲时,随机挑选等待的患者进行服务。④优先权服务,如照顾号。 混合制：既有等待又有损失的情况,如患者等待时考虑排队的队长、等待时间的长短等因素而决定去留.队列的数目可是单列，也可是多列的。

二、排队系统模型

排队系统模型主要可以由输入过程(患者到达时间间隔分布)、服务时间分布、服务台个数特征来描述。

根据这些特征,可用符号进行分类, 用以表示不同的模型. 例如,利用一定的符号规则将上述特征按顺序用符号列出,并用竖线隔开,即 输入过程 | 服务分布 | 服务台个数。

例如, M|M|S表示输入过程为泊松输入、服务时间服从负指数分布、S个服务台的排队系统模型; M|G|1则表示泊松输入、一般服务分布、单个服务台的排队系统. 评价和优化排队系统,需要通过一定的数量指标来反映. 排队系统的主要数量指标 ，建立排队系统模型的主要数量指标有三个：等待时间、忙期与队长。

⑴ 等待时间 指患者从到达系统时起到开始接受服务时止这一段时间. 显然患者希望等待时间越短越好. （2） 用Wq 表示患者在系统中的平均等待时间.若考虑到服务时间,则用Ws 表示患者在系统中的平均逗留时间(包括等待时间和服务时间).该指标反映服务台的工作强度和利用程度.用B表示忙期的平均长度.与忙期相应的是闲期,闲期是指服务台一直空闲的时间长度.用I 表示闲期的平均长度. ⑶ 队长 指系统中的患者数(包括排队等候的和正在接受服务的所有患者。用Ls表示平均队长.若不考虑接受服务的患者, 则将系统中排队等候的患者数称为队列长.用Lq表示平均队列长.

此外, 用r 表示服务强度,其值为有效的平均到达率l与平均服务率m 之比, 即r =l/m . M | M | 1 模型 M|M|1模型是输入过程为泊松输入,服务时间为负指数分布并具有单服务台的等待制排队系统模型,这是最简单的排队系统模型。

假定系统的患者源和容量，,患者单队排列,排队规则是先到先服务. 设在任意时刻t系统中有n个患者的概率Pn(t). 当系统达到稳定状态后,Pn(t)趋于平衡Pn且与t无关. 此时,称系统处于统计平衡状态,并称Pn为统计平衡状态下的稳态概率. Pn=(1- r )r n, n = 0, 1, 2, … . 其中r =l/m 表示有效的平均到达率l与平均服务率m 之比(0＜r ＜1). M | M | 1 模型的几个主要指标 ⑴ 在系统中的平均患者数(平均队长)Ls ⑵ 在队列中等待的平均患者数(平均队列长)Lq ⑶ 患者在系统中平均逗留时间Ws ⑷ 患者在队列中平均等待时间Wq ⑸ 闲期的平均长度I ⑹ 忙期的平均长度B

通过上述分析，公式如下：Ls=Lp+l/m ,

从其中的计算可知，等待时间，逗留时间，闲期的平均长度，忙期的平均长度等。

三、排队论在生活中建立的模型及分析

近年来，随着我国社会经济的发展和国民收入水平的提高，普通居民与银行之间的交易，从原先单一的钱款存取发展到信贷、缴费和理财等方面；另外银行承担的公共事业费用代收代缴职能越来越多，而银行的服务能力却没有同等幅度的提高。这就造成了迅速增长的个人金融需求和银行服务供给不足的矛盾，导致银行业务柜台前的队伍越来越长，顾客排队等待时间也越来越长，极大地影响了银行的服务质量。

银行的排队问题蕴涵了丰富的数学、运筹学、行为学、管理学等学科的知识理论，绝不是看上去的那么简单。一般地，银行的排队问题是由顾客数量、服务水平和服务窗口数量等因素综合决定，服务水平可通过银行内部管理实现，顾客多要减少排队等候时间就要增加服务窗口，就要增加投入，而增加窗口有可能出现空闲，又浪费资源。因此，解决银行排队就是要尽可能地找到一个平衡点，使三者达到最佳的平衡状态。 近年来对于银行排队现象，已经提出了一些具体的解决方案，如如：

1、排队方式 （1） 传统方式——多路排队（M/M/1模型） 传统排队系统是多对列多服务台的M/M/1模型，输入过程为泊松分布，服务时间为指数分布，C个服务台独立运作。客户到达后选最短的队伍排队，每个新到顾客都选择当前时刻最短的队伍，所以总体来看各队列等候人数相近。 缺点：① 每个客户业务不同，选择队列时面临着不确定性，看似最短的队列可能因为前面的业务繁琐而等待最长。②相同长的队伍，因为业务复杂程度或工作人 员熟练程度不同，造成后到的人反而先办理了业务③在排队中突然新开窗口，客户一拥而上，破坏了正常秩序。

（2） 取号机的引入——单路排队（M/M/C模型） 在银行引入取号机器之后，排队转变为一个M/M/C模型构成的单路排队系统。取号机重塑了银行排队系统的模式，将排队系统从过去的多对列多服务台排队模型转变为单对列多服务台模式。 ①利用排队论，通过定量分析证明了M/M/C模型比M/M/1模型有显著的优越性，在相同的服务效率和顾客到达分布下，M/M/C模型在服务台空闲概率、顾客平均等待时间等指标上均优于M/M/1模型。同时因为顾客无需考虑队列选择，避免前面所述的几种情况，真正做到了先来先服务，保证每一位客户受到公平礼遇。 ②借助排队论的知识以及合理的假设建立了单路排队模型（M/M/C模型）和多路排队模型（C个M/M/1模型），分别代表了引入排号机器后和没引入排号机器前的银行排队系统，然后根据排队模型的主要数量指标评价这两个模型的优劣。通过对单路排队模型（M/M/C模型）和多路排队模型（c个M/M/1模型）的计算可知，单路排队相对于多路排队具有显著优势，这也反映了银行引入排号机器对减缓排队压力上有很大的帮助。③利用了排队论对单路排队模型和多路排队模型进行理论上的阐明，并且通过计算分析得出：单路排队模型等候服务要比多路排队模型更有效率。

2、服务窗口数量和弹性排班制度

①在分析银行的排队问题特征的基础上，以概率理论为基础，通过数学建模建立了基于银行排队问题的M/M/C模型，由这个模型可知：只要知道系统中顾客的平均到达速率和平均服务速率，就可以计算出系统中顾客的平均逗留时间和顾客排队的平均等待时间，从而可根据实际情况设置窗口数量，提高服务质量，做出相应的决策，使银行服务系统达到最佳的平衡状态。 ②作者从广州某银行采集了2006年1~4月银行窗口自动取号机排队数据，应用排队论理论，提出了随机环境下具有可变输入率的适时调整窗口数量的算法，建立了银行柜台优化模型，提出了改善整个柜台服务系统的设想，即最佳柜台规模和最佳工作窗口数，为银行排队管理决策提供科学依据。 ③指出：应用排队论建立了银行柜员弹性排班制度。弹性排班是针对银行服务需求波动大的特点，通过优化人员配备组合，实行弹性工作安排，根据不同时段顾客流量和业务量的变动情况，动态调整人员工作时间和工作人数的排班制度。该方案在缓解银行排长队现象、应对需求的大幅波动、优化银行柜员资源配置方面很有效，能够满足顾客减少排队等待时间的要求，合理优化柜员工作时间、节省人力成本及排班成本、提高柜员服务效率。

、缩短服务时间，提高服务效率

①作者从银行的服务时间入手，根据排队论理论指出，如果银行平均服务率高于顾客平均到达率，会使得排队越来越长而只能等到高峰期过后才能得到缓解。因此，降低服务时间提高个人银行排队系统的效率，使得排队系统能够应付更多的顾客，从而降低顾客的等待时间，进而吸引客户并能增加未来业务利润。银行应更有效的利用客户闲置时间开展工作：比如大堂经理可询问每位顾客业务需求，指导填写单据等。 ②指出，由于银行的服务项目越来越多，各银行之间的竞争也日益激烈，因此，如何有效的协调服务供给与客户需求，就成为解决排队问题的关键所在。作者认为可以采取如下的措施来提高银行服务的效率：（1）在最普通，也是最经常为顾客提供服务的储蓄窗口的员工应尽量避免处理其他业务，用最快捷、最有效的方式为顾客提供服务，减少顾客排队的时间；（2）可以对团体客户或者存款数额较大的顾客设立预约服务，并开设一个专门的预约窗口，将这些占用时间较多的服务从业务高峰期中划分出来单独处理如。

参考文献：

[1] 钱颂迪 《高等学校试用教材.运筹学(第三版》[M] 北京：清华大学出版社，2008

[2] 郭耀煌《运筹学原理与方法》[M] 西南交通大学出版社,1994