小升初数学专题：智慧过桥——统筹优化问题解析

在小升初数学复习中，过桥问题是一类充满趣味的统筹优化类题目。它不像传统计算题那样直接，而是需要我们像指挥官一样，用最优的策略在限定条件下完成任务。这类题目能有效培养我们的逻辑思维和规划能力。

问题核心与规则

过桥问题的典型场景是：夜晚，一群人需要过一座独木桥，桥上每次最多只能同时过两人，而且必须持有唯一的探照灯才能通过。每个人的过桥速度不同，有的快有的慢。目标是找到一种安排方案，让所有人全部过桥所用的总时间最短。

这里有几个关键规则必须遵守：

每次最多两人同时过桥。无论一人还是两人过桥，都需要携带探照灯。过桥时间以较慢的人为准。需要有人把灯送回来，供下一批人使用。

核心策略解析

解决这类问题的核心矛盾在于：如何平衡"让快的人多跑腿"和"避免慢的人拖累整体时间"。经过大量实践总结，最优策略通常遵循以下原则：

策略一：最快者往返送灯这是最基础的思路。让速度最快的人负责多次往返护送其他人，并每次把灯送回来。

策略二：利用次快者组合过桥当最慢的两个人需要过桥时，可以考虑让速度最快的两个人先过，然后最快者返回，接着最慢的两人一起过，最后次快者返回。这种方法在某些情况下更节省时间。

具体方案选择：比较两种模式的时间

实际上，我们可以把整个过程简化为一个重复的决策：每次将队伍中最慢的两个人送过桥，有两种基本模式：

模式A（最快者护送模式）假设四人速度排序为：A(最快)、B(次快)、C(次慢)、D(最慢)步骤：

A和B过桥 → 用时 BA返回 → 用时 AC和D过桥 → 用时 DB返回 → 用时 B总时间 = B + A + D + B = A + 2B + D

模式B（组合过桥模式）步骤：

A和C过桥 → 用时 CA返回 → 用时 AA和D过桥 → 用时 DA返回 → 用时 A总时间 = C + A + D + A = 2A + C + D

在实际解题时，我们需要比较这两种模式哪个更优，然后选择时间较短的方案。

实战应用

让我们用一个经典例子来演示：

例题：四人过桥，时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、10分钟。如何安排？

按速度标记为：A(1min)、B(2min)、C(5min)、D(10min)

采用模式B：

A和C过桥（5分钟） → 总时5分钟A返回（1分钟） → 总时6分钟A和D过桥（10分钟） → 总时16分钟A返回（1分钟） → 总时17分钟A和B过桥（2分钟） → 总时19分钟